如何快速求出一个矩阵的逆矩阵?(怎么求逆矩阵)

如果要求逆的矩阵是A则对增广矩阵(AE)进行初等行变换E是单位矩阵将A化到E,此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的扩展设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域

如果要求逆的矩阵是A

如何快速求出一个矩阵的逆矩阵?(怎么求逆矩阵)

则对增广矩阵(AE)进行初等行变换E是单位矩阵

将A化到E,此时此矩阵的逆就是原来E的位置上的那个矩阵

原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的

扩展设A是数域上的一个n阶矩阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得怎么求逆矩阵: AB=BA=E ,则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。注:E为单位矩阵。

定义一个n阶方阵A称为可逆的,或非奇异的,如果存在一个n阶方阵B,使得

则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

性质定理

可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。证明

逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。 设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。矩阵A可逆,有AA-1=I 。(A-1) TAT=(AA-1)T=IT=I ,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I 由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O 而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O 2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。 得B-C=O,即B=C。

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